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By Walter Gubler

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L von L als K-Vektorraum und eine Basis γ1 , . . , γm von M als L-Vektorraum. Nach dem ersten Schritt wissen wir, dass (βi γj )1≤i≤l,1≤j≤m K-linear unabh¨angig in M ist. Um nun das gew¨ unschte [M : K] = ml zu zeigen, gen¨ ugt es zu beweisen, dass (βi γj )1≤i≤l,1≤j≤m ein K-Erzeugendensystem in M bildet (weil wir damit eine K-Basis erhalten). Sei γ ∈ M . Weil die Elemente γ1 , . . , γm eine L-Basis von M bilden, m existieren µ1 , . . , µm ∈ L mit γ = µj γj . Weil β1 , . . , βl eine K-Basis in j=1 l L ist, gibt es λ1j , .

R. Beweis. Mit Induktion nach r: Puristen k¨onnen den Induktionsanfang f¨ ur r = 0 machen. Das (leere) Produkt ist als 1 definiert, also hat man 1 = q1 . . qs . Das kann aber auch nur f¨ ur s = 0 gelten, da sonst qi eine Einheit w¨are im Widerspruch zu qi irreduzibel. Wer sich dabei unsicher f¨ uhlt, darf den Induktionsanfang nat¨ urlich auch f¨ ur r = 1 machen. Dann gilt p1 = q1 . . qs . Weil p1 prim ist, muss p1 Teiler von einem qi sein. Nach Umordnung darf man p1 | q1 annehmen. Weil q1 irreduzibel ist und p1 keine Einheit, folgt p1 = uq1 f¨ ur eine Einheit u.

3. BEISPIELE FUR 41 z w } bildet −w z einen Teilring von M2 (C) und ihre Elemente heißen Quaternionen. Dass dies ein Teilring ist, sieht man leicht, bis auf die Abgeschlossenheit bzgl. ” · ”. 3. Die Menge H := {A ∈ M2 (C) ∃z, w ∈ C : A = z 1 w1 −w1 z1 · z 2 w2 −w2 z2 z 1 z 2 − w1 w2 z 1 w2 + w1 z 2 −z2 w1 − w2 z1 −w1 w2 + z1 z2 = ∈H Man hat die Norm N (A) := det(A) = |z|2 + |w|2 . Sei A ∈ H, A = 0. 2) adj(A) = z −w w z =⇒ A−1 = 1 adj(A) ∈ H. N (A) Folgerung: Die Quaternionen bilden einen Ring, in dem jedes Element = 0 ein Inverses hat.

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Algebra I by Walter Gubler


by Donald
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